FAKTOR-FAKTOR PERSEKUTUAN DAN FPB

 FAKTOR-FAKTOR PERSEKUTUAN DAN FPB

Andi memiliki 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Dia berencana untuk membagikan buah-buah tersebut secara rata kepada temannya. Yang dimaksud rata di sini adalah bahwa temannya akan mendapatkan buah apel dan buah jeruk yang banyaknya sama dengan temannya yang lain. Ada berapa banyak teman Andi yang akan menerima buah-buahan tersebut? Berapa banyak teman Andi maksimal yang akan menerima buah-buahan tersebut?

Kemungkinan pertama, Andi dapat memberikan buah-buahan tersebut kepada seorang temannya. Sehingga temannya tersebut akan mendapatkan 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Kemungkinan ini merupakan kemungkinan yang paling sederhana. Kemungkinan kedua, Andi dapat memberikan buah-buahan tersebut kepada 2 orang temannya. Sehingga masing-masing temannya akan mendapatkan 12 : 2 = 6 buah apel dan 18 : 2 = 9 buah jeruk.
Apakah Andi dapat membagikan buah-buahannya tersebut secara rata kepada 4 orang temannya? Tentu tidak. Buah apel yang berjumlah 12 memang dapat dibagi dengan 4, akan tetapi banyaknya buah jeruk, yaitu 18, apabila dibagi dengan 4 sama dengan 4 dan sisa 2. Atau dengan kata lain, 18 dibagi 4 tidak menghasilkan suatu bilangan bulat. Ini dapat dikatakan bahwa 4 merupakan faktor dari 12, tetapi bukan faktor dari 18. Apakah yang dimaksud faktor suatu bilangan?

Faktor suatu bilangan adalah suatu bilangan yang dapat habis membagi bilangan tersebut.

Mari kita kembali kepada permasalahan di awal. Ada berapa banyak teman Andi yang akan menerima buah-buahan tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita daftar semua faktor dari 12 dan 18. Semua faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Sedangkan semua faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Kedua bilangan 12 dan 18 memiliki faktor-faktor yang sama, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Faktor-faktor yang sama tersebut disebut faktor persekutuan.

Faktor persekutuan adalah faktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.

Banyaknya teman Andi yang akan diberikan buah harus dapat membagi bilangan 12 maupun 18. Sehingga banyaknya teman Andi haruslah faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18, yaitu 1, 2, 3, dan 6.
Selanjutnya mari kita lihat pertanyaan lainnya. Berapa banyak teman Andi maksimal yang akan menerima buah-buahan tersebut? Karena banyaknya teman Andi haruslah 1, 2, 3, dan 6, maka banyaknya teman Andi maksimal adalah 6 orang. Enam merupakan bilangan terbesar dari faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18. Hal ini dapat dikatakan bahwa 6 merupakan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 12 dan 18.

Faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktor persekutuan lainnya.

Setelah mengenal faktor, faktor persekutuan, dan FPB, mari kita lanjutkan pembahasan kita menuju bagaimana cara menentukan FPB dari dua bilangan atau lebih. Untuk menentukan FPB dari dua bilangan atau lebih, kita dapat menggunakan cara mendaftar, faktorisasi prima, dan sengkedan.
Menentukan FPB dengan Cara Mendaftar
Misalkan kita akan menentukan FPB dari 24 dan 32. Pertama, kita daftar semua faktor dari 24 dan 32. Semua faktor dari 24 dan 32 dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut.

Dari tabel tersebut kita dapat memperoleh bahwa faktor persekutuan dari 24 dan 32 adalah 1, 2, 4, dan 8. Sehingga FPB dari 24 dan 32 adalah 8.
Menentukan FPB dengan Faktorisasi Prima
Misalkan kita akan menentukan FPB dari 140 dan 250. Pertama, kita tulis 140 dan 250 dalam perkalian faktor-faktor primanya. Faktor-faktor prima dari 140 dan 250 dapat dicari dengan menggunakan pohon faktor.

Dari pohon faktor di atas dapat diperoleh,
140 = 2² × 5 × 7
250 = 2 × 5³
Setelah mengubah bilangan-bilangan 140 dan 250 ke dalam perkalian faktor-faktor primanya, selanjutnya kita tentukan FPB-nya. Bagaimana caranya?

FPB dari dua bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan faktor persekutuan prima dengan pangkat terendah.

Faktor persekutuan prima dari 140 dan 250 adalah 2 dan 5. Faktor prima 2 dari 140 berpangkat 2, sedangkan faktor prima 2 dari 250 berpangkat 1. Kita pilih yang pangkatnya terendah, yaitu 2 pangkat 1. Demikian juga dengan faktor prima 5 dari 140 dan 250, kita pilih faktor yang pangkatnya terendah, yaitu 5 pangkat 1. Sehingga FPB dari 140 dan 250 adalah 2 × 5 = 10.
Menentukan FPB dengan Cara Sengkedan
Pada contoh-contoh sebelumnya kita menentukan FPB dari 2 bilangan. Sekarang kita akan menentukan FPB dari 3 bilangan, yaitu 18, 24, dan 30. FPB dari 18, 24, dan 30 dapat ditentukan dengan cara sengkedan sebagai berikut.

Aturan dari cara sengkedan adalah sebagai berikut:

1. Tuliskan bilangan-bilangan yang akan ditentukan FPB-nya secara mendatar.
2. Carilah bilangan prima yang dapat membagi sebagian atau seluruh bilangan tersebut. Untuk mencari bilangan prima ini, sebaiknya pilih bilangan prima dari yang terkecil: 2, 3, 5, dan seterusnya.
3. Apabila bilangan prima pembagi yang dipilih dapat membagi semua bilangan, lingkarilah bilangan prima tersebut. Tuliskan hasil baginya di baris bawah bilangan yang dibagi.
4. Apabila ada bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima pembagi, tuliskan kembali bilangan tersebut di baris bawahnya.
5. Lakukan terus menerus hingga mendapatkan suatu baris yang hanya berisi bilangan 1.
6. FPB dari bilangan-bilangan yang dicari adalah perkalian semua bilangan prima pembagi yang dilingkari.

Dari contoh di atas, kita memperoleh bahwa bilangan prima pembagi yang dilingkari adalah 2 dan 3. Sehingga FPB dari 18, 24, dan 30 adalah 2 × 3 = 6.
Setelah kita berlatih menentukan FPB dari 2 atau 3 bilangan di atas, selanjutnya kita akan mencoba untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
Pemecahan Masalah
Bilangan-bilangan 3.154, 17.328, dan 11.027 dibagi dengan bilangan yang sama sisanya berturut-turut adalah 4, 3, dan 2. Berapa bilangan pembagi terbesar yang mungkin?